Τα Μέγαρα. Η πανάρχαια Μεγαρική γη της Αττικής. : ΟΙ ΔΙΔΑΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΓΑΡΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ (Μέρος 11ον )

Η Νικαρέτη, τρίτο τέταρτο του 4ου αιώνα π.Χ. Μουσείο Βερολίνου.

Πηγή: http://www.flickr.com/photos/24729615@N00/sets/72157629606697568/detail/?page=6

Είναι γνωστό ότι η Αρχαία Ελλάδα τοποθέτησε τα θεμέλια των μαθηματικών Επιστημών και ειδικά στον τομέα της Γεωμετρίας και της Λογικής. Η εκπαίδευση των μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα αναπτύχτηκε ουσιαστικά ώστε αυτά να εφαρμοσθούν στην γεωργία, μηχανική, πολεμική τέχνη, αστρονομία, γεωδαισία. Αναπτυχθήκανε όμως πρώτιστος έτσι, για να αποτελέσουν προϊόν της ανθρώπινης σκέψης και χρησιμοποιηθήκανε κατά κόρον στην δομημένη λογική και την φιλοσοφία.

Τα έργα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, όσα βέβαια διασώθηκαν, αποτέλεσαν την βάση για την πιο πέρα εξέλιξη των μαθηματικών Επιστημών και της κβαντικής επιστήμης. Ονόματα όπως Θαλής, Πυθαγόρας, Ευκλείδης , Αρχιμήδης έγιναν αντικείμενο μελέτης της ιστορίας των μαθηματικών.

Θα ανατρέξουμε στο παρελθόν της Μεγαρικής Σχολής για αναζητήσουμε τις πηγές που δημιούργησαν τα δικά της θεμέλια ώστε να αναπτυχθεί επάνω τους η ευκλείδεια τέχνη της Φιλοσοφία και της Τυπικής Λογικής.

Ο σημαντικότερος Πυθαγόρειος μετά τον θάνατο του Πυθαγόρα ήταν βέβαια ο Αρχύτας ο Ταραντίνος. Και η πιο σημαντική από τις άλλες Σχολές που επηρεάστηκαν από τον Πυθαγόρα, ήταν η Ελεατική Σχολή με ιδρυτή της τον Παρμενίδη και συνεχιστή τον μαθητή του τον Ζήνωνα που ασχολήθηκε και με τα μαθηματικά. Ο Ζήνων ο Ελεάτης, αφιέρωσε όλη την ενέργειά του για να επεξηγήσει και να εξελίξει το φιλοσοφικό σύστημα του Παρμενίδη που εκπήγαζε από τους Πυθαγορείους. Επίσης, ο Ζήνων απέδειξε πως η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας οδηγεί σε παράδοξα και οξύμωρα. Με τα παράδοξα του Ζήνωνα ασχολήθηκαν στο παρελθόν αλλά και συνεχίζουν να ασχολούνται μέχρι και τις μέρες μας μεγάλοι μαθηματικοί και κβαντικοί επιστήμονες(1) όπως επίσης και φιλόσοφοι. Διάσημο είναι πλέον το εξής παράδοξο του Ζήνωνα: ‘’Αν έχουμε έναν αγώνα δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα και μιας χελώνας, και η χελώνα ξεκινήσει με προβάδισμα, για παράδειγμα, ενός σταδίου, ο Αχιλλέας (που ήταν ο καλύτερος δρομέας της μυθολογίας), δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει τη χελώνα. Αν θεωρήσουμε ότι ο Αχιλλέας είναι 100 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα, τότε όταν ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει ένα στάδιο, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου. Όταν ο Αχιλλέας διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό και ένα εκατοστό του εκατοστού του σταδίου κ.ο.κ...Επομένως η χελώνα πάντα θα προπορεύεται και ο Αχιλλέας δεν θα μπορεί να την φτάσει’’.

Ο Μεγαρέας Ευκλείδης (ιδρυτής της Μεγαρικής Σχολής 4ος αιώνας π.Χ.), είναι γνωστό ότι μαθήτευσε την Ελεατική φιλοσοφική γνώση, άλλωστε είναι εκείνος ο φιλόσοφος που πρώτος κυριολεκτικά σύζευξε την προσωκρατική σκέψη (Πυθαγόρα- Παρμενίδη - Ζήνωνα), με την μετέπειτα φιλοσοφία του Σωκράτη. Ο Ευκλείδης στη Μεγαρική Σχολή -εκτός από την φιλοσοφική αρχή των Πυθαγόρα, Παρμενίδη και Ζήνωνα που δίδαξαν: ότι ο κόσμος των αισθήσεων είναι μια ψευδαίσθηση επειδή αποτελείται από κίνηση και πολλαπλότητα-(2), έθεσε τα θεμέλια της ‘’Τυπικής Λογικής’’. Δηλαδή, εκείνον τον τομέα στα μαθηματικά που ασχολείται για την διάκριση από τη Φυσική Λογική. Καθώς ο εκπαιδευτικός νόμος της ‘’αντιθετοαντιστροφής’’ με τη ρητή μορφή του εκπηγάζει κύρια από την περίφημη πρακτική της διαλεκτικής τέχνης των Μεγαρικών, όπου είναι σε θέση να απορρίπτει κάποιος τις προτάσεις ενός αντιπάλου συνομιλητή. Έτσι, η διαλεκτική τέχνη της φιλοσοφία που προσέθεσε τον τύπο της ‘’αντιθετοαντιστροφής’’ στα μαθηματικά, ανήκει δικαιωματικά στη Μεγαρική Σχολή!

Είναι λοιπόν πασιφανές ότι οι μαθητές της Μεγαρικής Σχολής διδάσκονταν αυτά τα μαθηματικά που σήμερα ονομάζονται ‘’προτασιακού λογισμού’’. Καθώς η εκπαίδευση τούτη περιστρέφεται γύρω από τις έννοιες ΣΥΖΕΥΞΗΣ, ΔΙΑΖΕΥΞΗΣ, ΑΡΝΗΣΗΣ και ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ.

Δηλαδή, καθώς μια σύνθετη πρόταση αποτελείται από δύο απλές προτάσεις που ενώνονται με ένα σύνδεσμο. Αν ο σύνδεσμος είναι ‘’και’’ η σύνθετη πρόταση ονομάζεται σύζευξη. Ενώ εάν ο σύνδεσμος είναι ‘’ή’’ η σύνθετη πρόταση ονομάζεται διάζευξη.

Μια σύζευξη είναι αληθής εάν και μόνο οι δύο προτάσεις είναι αληθείς. Εάν όμως η μία είτε η άλλη πρόταση είναι ψευδής ή και οι δύο είναι ψευδής, τότε η σύζευξη είναι ψευδή και ούτως καθ’ εξής.

Συνεχίζεται…

Σημειώσεις:

1. To κβαντικό παράδοξο του Ζήνωνα έχει να κάνει με την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης και προτάθηκε το 1977 από τους Misra και Sudarshan. Η βασική ιδέα έγκειται στο παρακάτω πείραμα:

Έστω ότι έχουμε ένα ασταθές σύστημα το οποίο βρίσκεται στην διεγερμένη κατάσταση Ψ2, και το οποίο πρόκειται να μεταβεί φυσικά στη θεμελιώδη κατάσταση, μετά από χρόνo Τ . Για χρόνους μικρότερους του χρόνου Τ , η πιθανότητα μετάβασης στη θεμελιώδη κατάσταση είναι:

t
P1,2 = -
T

ενώ η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται ακόμη στην διεγερμένη κατάσταση Ψ2, μετά από χρόνοΤ , είναι:

t
P2 (t) = 1 - -
T

Εάν μετά τη μέτρηση βρούμε ότι το σύστημα είναι όντως στην κατάσταση Ψ2, τότε σύμφωνα με την αρχή του φιλτραρίσματος η κατάσταση του συστήματος θα είναι πάλι η κατάστασηΨ2, Έτσι, αν επαναλάβουμε τη μέτρηση μετά από χρόνο 2t, η πιθανότητα να βρούμε το σύστημα πάλι στην κατάσταση Ψ2, είναι τώρα
2t

P2 (t) = 1 - -
T

Δηλαδή η πιθανότητα ολοένα και μειώνεται με την πάροδο του χρόνου, όπως και θα έπρεπε να συμβαίνει. Το παράδοξο εμφανίζεται όταν επαναλάβουμε το πείραμα κάνοντας πολλές μετρήσεις ανά μικρά χρονικά διαστήματα. Για πολύ μικρούς χρόνους, η πιθανότητα μετάβασης στη θεμελιώδη κατάσταση είναι ανάλογη του t2
P2,1= at2
Επαναλαμβάνοντας λοιπόν το πείραμα, από t=O μέχρι t =T , δηλαδή παίρνοντας μετρήσεις σε χρόνους T/n, 2T/n,...T, η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση Ψ2 είναι περίπου
a
1-- - T2
t

Παίρνοντας το όριο n-00 , η πιθανότητα πηγαίνει προς τη μονάδα. Αυτό είναι και το παράδοξο. Ένα ασταθές σύστημα το οποίο παρατηρείται συνεχώς, δεν αποδιεγείρεται ποτέ!

Το κβαντικό παράδοξο του Ζήνωνα έχει να κάνει με την γενικότερη ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής, καθώς και με τον ρόλο που διαδραματίζει η μέτρηση στην κβαντική θεωρία. (Πηγή: David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics.)

2. Το ‘’Πραγματικό Όν’’ είναι απολύτως ένα και δεν υπάρχει πολλαπλότητα σε αυτό. Είναι στατικό και αμετάβλητο. Η κοινή λογική λέει πως υπάρχει και κίνηση και πολλαπλότητα. Αυτή ήταν βέβαια και η Πυθαγόρεια αντίληψη της πραγματικότητας ενάντια στην οποία επιχειρηματολογούσε ο Ζήνωνας)

Βιβλιογραφία:

Μετζενιώτης, Διονύσης: «Τα παράδοξα του Ζήνωνα. Συμβολή σε μιαν ατέλειωτη συζήτηση». Εποπτεία 90. Σελ. 469-478. 1984.

David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics.

Ηλεκτρονικές πηγές: